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MÉTODOS NUMÉRICOS                  

QUE DEBES SABER?           

QUÉ ES?....

"son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas" 

CONTENIDO SISTEMA DE ECUACIONES

¿Cuál es su Objetivo de estudio?

El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geométricamente representan la misma recta o plano.

MODELO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS Y LINEALES

Método de Eliminación Gaussiana Simple

El método de eliminación gaussiana  para la solución de sistema de ecuaciones consiste en  por medio de operaciones básicas llamadas operaciones de renglones, convertir este sistema en otro mas sencillo.

Las operaciones que generalmente se utilizan ya que nos facilitan la transformación de los números son:

•El intercambio de renglones. (R1 < -- > R2)•La suma de renglones  (R1 + R2)•La multiplicación de cualquier numero por un renglón. (k)R1

Método de eliminación Gauss - Jordán 

     

Este método debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm Jordán...

debemos en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales con la notación matricial, procederemos a transformar dicha matriz en una matriz identidad, o sea una matriz equivalente a la inicial. Logramos esto aplicando a las distintas columnas y filas de las matrices, restas, sumas, multiplicaciones y divisiones. Debemos tener en cuenta que las operaciones utilizadas se aplicarán en todos los elementos de la fila.
En dicha matriz identidad no vemos los términos independientes. Esto sucede ya que cuando la matriz original alcance la matriz identidad, los términos serán la solución del sistema y verificarán la igualdad para cada variable que le corresponderán. 

Método de eliminación de Gauss-Seidel 

El método de Gauss-Seidel es el mas comúnmente usado para resolver sistemas muy grandes de ecuaciones lineales.

Es una modificación del método de Jácobi que hace que la convergencia sea mas rápida.

Comienza con una aproximación inicial x(0) a la solución x y genera una sucesión de vectores x(k) que convergen a la solución x.

se puede expresar como: Ax = b

Donde “A” es la matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas y b el vector de términos independientes.

La solución del sistema de ecuaciones es un conjunto de (n) valores que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones.

Para un sistema de n ecuaciones  con (n) incógnitas se tiene la siguiente fórmula (usando una notación mas compacta):  

APLICABILIDAD 

Ecuaciones Algebraicas Lineales. 

Las ecuaciones lineales pueden ser utilizadas para describir muchas relaciones y procesos en un mundo físico, y por ende tienen un gran papel en la ciencia. Frecuentemente, las ecuaciones lineales son utilizadas para:

• Calcular tasas, por ejemplo, la velocidad en la que un proyectil se mueve o como procede en una reacción química.

• Puede ser utilizadas para convertir de una unidad de medidas a otras, tales como de metros a millas o grados Centígrados a grados Fahrenheit.

 • En algunos casos, los científicos descubren relaciones lineales durante una investigación. Por ejemplo, una científica ambiental analizando datos que ella ha recolectado acerca de la concentración de cierto contaminante en un lago puede notar que el contaminante se decae a una tasa continua. Utilizando esos datos, ella puede desarrollar una ecuación lineal que describe la concentración del contaminante con el tiempo. La ecuación puede ser utilizada para calcular la cantidad del contaminante que estará presente en cinco años o cuánto tiempo toma que el contaminante se decaerá completamente.

• En nutrición, una bióloga está  efectuando un experimento sobre los efectos de varias combinaciones de vitaminas. Quiere alimentar a cada uno de sus conejos de laboratorios en una dieta que contenga exactamente 9mg de niacina, 14mg de tiamina y 33mg de riboflavina. Tiene tres tipos distintos de marcas comerciales de alimentos, su contenido vitamínico por onza se proporciona en la tabla ¿Cuántas onzas de cada tipo de alimentos deben comer todos los días los conejos para cumplir con los requisitos del experimento?

 • Entre otras como la agricultura, electricidad y demás áreas.

2. AJUSTE DE CURVAS

Regresión con Mínimos Cuadrados

Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados —variable independiente, variable dependiente— y una familia de funciones, se intenta encontrar la función continua.

A menudo nos confrontamos con situaciones en las que existe o suponemos que existe una relación lineal entre las variables (X y Y). surge de modo natural la pregunta: ¿cuál es la relación analítica que más se ajusta a nuestros datos? El método de cuadrados mínimos es un procedimiento general que nos permite responder esta pregunta Cuando la relación entre las variables (X y Y) es lineal, el método de ajuste por cuadrados mínimos se denomina también método de regresión lineal.

Una vez que hemos establecido la existencia de una relación estadística entre dos variables y determinado la intensidad de esta relación, el siguiente paso es ver cómo pueden predecirse los valores de una variable en función de los de otra y que grado de precisión tendrán estas predicciones. A estas cuestiones atiende el termino regresión introducido por Sir Francis Galton al estudiar la relación entre la estatura de padres e hijos.  

 Regresión Lineal

 La regresión lineal es un técnica para determinar la mejor línea recta que pasa entre un conjunto de observaciones definidas por puntos (x , y ), (x , y ), ....(x , y )En la regresión lineal partimos de un conjunto de observaciones (xi,yi) de dos variables (x,y) por alguna razón, hemos decidido que la relación existente entre ambas variables es esencialmente lineal. Las razones para esta decisión pueden estar basadas en la inspección de la representación gráfica de los datos, en consideraciones teóricas sobre la forma en que actúa una variable sobre otra, ser una primera aproximación tentativa, o una mezcla de todas las anteriores. Aunque la relación entre esas dos variables sea substancialmente lineal, las observaciones que obtenemos no estarán perfectamente alineadas, sino que se encontrarán más o menos dispersas debido a factores no controlados o la variabilidad intrínseca de la variable considerada. La situación será la que refleja la siguiente ilustración. 

Si pretendemos predecir la variable Y en función de los valores de la variable X deberemos de determinar la recta de regresión Y sobre X que tendrá como expresión genérica:

Donde a es la pendiente de la recta que representa el incremento que experimenta el valor de x, y b es la ordenada en el origen es decir el valor de (y) cuando (x) vale cero.

 Regresión Polinomial

En diversos problemas de ingeniería, sobre todo aquellos que son el resultado de un experimento, es necesario encontrar una expresión matemática que relacione a la variable dependiente con una variable independiente. Supongamos que la variable independiente es X y la variable dependiente es Y. la relación entre las variables es una función de la forma y= f(x).

El caso es que no se tiene una expresión matemática sino una tabla de valores, de la forma:

Nuestro objetivo es encontrar una función polinómica que mejor se ajuste a los datos dados, es decir una función cuya representación gráfica sea una curva que se acerque de la mejor manera a los datos dados.

La regresión Polinomial es la que se tiene cuando la función de aproximación es polinómica es decir presenta la forma: 

Pero el grado de la función de ese polinomio tiene que ser menor o igual que (n-2)

Para determinar los coeficientes del polinomio se procede minimizando la función de error, la cual puede expresarse como:

 Para obtener el mejor polinomio que se aproxime a los datos? se obtiene Minimizando el error.

Para minimizar la función se procede de la manera usual, es decir, se deriva la función con respecto a cada una de las incógnitas y se iguala a cero, donde quedará un sistema de orden (m+1)  ecuaciones lineales. La más popular de las regresiones es la lineal es la que menos conlleva en calcular la regresión.

Y esta consiste en hallar la recta que mejor se ajusta a un conjunto de datos y se aplica en muchos casos sobre todo cuando los datos no están muy dispersos, pero para datos muy dispersos hay que aumentar el grado de la regresión.

Regresión Lineal Múltiple

El análisis de regresión múltiple es una técnica de análisis multivariable en el que se establece una relación funcional entre una variable dependiente o a explicar y una serie de variables independientes o explicativas, en la que se estiman los coeficientes de regresión que determinan el efecto que las variaciones de las variables independientes tienen sobre el comportamiento de la variable dependiente.

El modelo más utilizado es el modelo lineal, pues es el que requiere estimar un menor número de parámetros. La medida de la bondad del ajuste de la función estimada viene dada por el coeficiente de correlación múltiple, y el coeficiente de determinación, que es el cuadrado del anterior, expresa la proporción de la varianza de la variable dependiente explicada por el modelo de regresión. 

El modelo de regresión requiere que todas las variables, dependiente e independientes, estén medidas con escala métricas.

    Interpolación

En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.

En ciertos casos el usuario conoce el valor de una función f(x) en una serie de puntos x₁, x₂,···, x_N, pero no se conoce una expresión analítica de f(x) que permita calcular el valor de la función para un punto arbitrario.

Otro ejemplo son mediciones de temperatura en la superficie de la tierra, que se realizan en equipos o estaciones meteorológicas y se necesita calcular la temperatura en un punto cercano, pero distinto al punto de medida.

La idea de la interpolación es poder estimar f(x) para un valor de x arbitrario, a partir de la construcción de una curva o superficie que une los puntos donde se han realizado las mediciones y cuyo valor si se conoce. Se asume que el punto arbitrario x se encuentra dentro de los límites de los puntos de medición, en caso contrario se llamaría extrapolación.

Polinomios de interpolación con diferencias divididas de Newton 

APLICABILIDAD 

Ajustes de Curvas.

Con el ajuste Curvas, puede ajustar los puntos de la gama tonal de una imagen. Inicialmente, la tonalidad de la imagen se representa como una línea recta en diagonal sobre un gráfico. Al ajustar una imagen RGB, la zona superior derecha del gráfico representa las iluminaciones; mientras que el área inferior izquierda representa las sombras. El eje horizontal del gráfico representa los niveles de entrada (valores originales de la imagen) y el eje vertical representa los niveles de salida (nuevos valores ajustados). Al añadir puntos de control a la línea y moverlos, la forma de la curva cambia, de forma que refleja los ajustes de la imagen. Las secciones más elevadas de la curva representan áreas de mayor contraste, mientras que las más planas representan áreas de menor contraste.

• Ajustes del color y el tono de una imagen mediante curvas. Si mueve un punto de la parte superior de la curva, ajusta las iluminaciones; si mueve un punto de la parte central de la curva, ajusta los medios tonos; y si mueve un punto de la parte inferior de la curva, ajusta las sombras. Para oscurecer las iluminaciones, mueva hacia abajo un punto cercano a la parte superior de la curva. Si mueve un punto hacia abajo o hacia la derecha se asignará el valor de entrada a un valor de salida más bajo, y la imagen se oscurecerá. Para aclarar las sombras, mueva hacia arriba un punto cercano a la parte inferior de la curva. Si mueve un punto hacia arriba o hacia la izquierda asignará un valor de entrada más bajo a un valor de salida más alto, y la imagen se aclarará.

ANÁLISIS (FODA)